總結(jié)：

1.為了定義減法，將自然數(shù)集擴充為整數(shù)集；為了定義除法，將整數(shù)集擴充為有理數(shù)集。

2.有理數(shù)集的定義方法類同整數(shù)集。

即先從笛卡爾積中定義一種二元關(guān)系，再證明它是等價關(guān)系，這樣得到的等價類可定義為一類新的集合。

然后再定義它的運算，證明運算是良定義。

3.有理數(shù)集是整環(huán)。歸類為整環(huán)方便研究有理數(shù)集的各類性質(zhì)。

4.可在有理數(shù)集中找到一個與整數(shù)集同構(gòu)（同構(gòu)映射是雙射、保持運算）的真子集。

這樣可以等同于說 整數(shù)集是有理數(shù)集的真子集。

5.有理數(shù)集具有稠密性（點集拓撲學中擴展）。