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利用中線長定理進(jìn)行整體代換（2023全國甲，12）

2023-06-13 09:09 作者:數(shù)學(xué)老頑童 0人讀過 | 我要投稿

（2023全國甲，12）已知橢圓 $%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B9%7D%2B%5Cfrac%7By%5E2%7D%7B6%7D%3D1$ ， $F_1$ 、 $F_2$ ， $P$ 為橢圓上一點， $%5Ccos%20%5Cangle%20F_1PF_2%3D%5Cfrac%7B3%7D%7B5%7D$ ，則 $%5Cleft%7C%20PO%20%5Cright%7C%3D$ （? ? ）

A. $%5Cfrac%7B2%7D%7B5%7D$

B. $%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B30%7D%7D%7B2%7D$

C. $%5Cfrac%7B3%7D%7B5%7D$

D. $%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B35%7D%7D%7B2%7D$

解：

設(shè) $%5Cleft%7C%20PF_1%20%5Cright%7C%3Dm$ 、 $%5Cleft%7C%20PF_2%20%5Cright%7C%3Dn$ ，

依橢圓定義可知： $%5Ccolor%7Bred%7D%7Bm%2Bn%7D%3D2a%3D%5Ccolor%7Bred%7D%7B6%7D$ ，

依余弦定理可知：

$m%5E2%2Bn%5E2-2mn%5Ccdot%20%5Ccos%20%5Cangle%20F_1PF_2%3D%5Cleft(%202c%20%5Cright)%20%5E2$

即 $%5Ccolor%7Bred%7D%7Bm%5E2%2Bn%5E2-%5Cfrac%7B6%7D%7B5%7Dmn%3D12%7D$ ，

變形得

$m%5E2%2Bn%5E2-%5Cfrac%7B6%7D%7B5%7D%5Ccdot%20%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cleft%5B%20%5Cleft(%20m%2Bn%20%5Cright)%20%5E2-%5Cleft(%20m%5E2%2Bn%5E2%20%5Cright)%20%5Cright%5D%20%7D%3D12$

即 $%5Ccolor%7Bred%7D%7B8%5Cleft(%20m%5E2%2Bn%5E2%20%5Cright)%20-3%5Cleft(%20m%2Bn%20%5Cright)%20%5E2%3D60%7D$ ，

所以 $8%5Cleft(%20m%5E2%2Bn%5E2%20%5Cright)%20-3%5Ctimes%20%5Ccolor%7Bred%7D%7B6%7D%5E2%3D60$ ，

解得 $%5Ccolor%7Bred%7D%7Bm%5E2%2Bn%5E2%3D21%7D$ .

設(shè) $%5Cleft%7C%20PO%20%5Cright%7C%3Dd$ ，

因為 $%5Cangle%20POF_1%2B%5Cangle%20POF_2%3D%5Cmathrm%7B%5Cpi%7D$ ，

所以 $%5Ccos%20%5Cangle%20POF_1%2B%5Ccos%20%5Cangle%20POF_2%3D0$ ，

即 $%5Cfrac%7Bd%5E2%2Bc%5E2-m%5E2%7D%7B2dc%7D%2B%5Cfrac%7Bd%5E2%2Bc%5E2-n%5E2%7D%7B2dc%7D%3D0$

所以

$%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%09%5Ccolor%7Bred%7D%7Bd%7D%26%5Ccolor%7Bred%7D%7B%3D%5Csqrt%7B%5Cfrac%7Bm%5E2%2Bn%5E2-2c%5E2%7D%7B2%7D%7D%7D%5C%5C%0A%09%26%3D%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B21-2%5Ctimes%203%7D%7B2%7D%7D%3D%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B30%7D%7D%7B2%7D%7D%5C%5C%0A%5Cend%7Baligned%7D$