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實(shí)變函數(shù)漫(11)直線上的勒貝格測(cè)度

2023-06-29 09:28 作者:南海之聲sonnet耳放 0人讀過(guò) | 我要投稿

直線上的勒貝格測(cè)度就是剛才一般測(cè)度建立的過(guò)程，對(duì)于左開(kāi)右閉區(qū)間定義其測(cè)度

$%5Cmu(a%2Cb%5D%3Db-a$ ,這個(gè)測(cè)度可以延拓到環(huán) $R_0$ 上，也就是有限個(gè)左開(kāi)右閉區(qū)間的并。

$H(R_0)$ 就是直線上任意的點(diǎn)集，所以說(shuō)任意點(diǎn)集都有外測(cè)度，然后用Caratheodory條件限制到可測(cè)集上。 $%E5%B7%A6%E5%BC%80%E5%8F%B3%E9%97%AD%E5%8C%BA%E9%97%B4%5Csubset%20R_0%5Csubset%20Borel%E9%9B%86%20%E5%B0%B1%E6%98%AFS(R_0)%5Csubset%20%E5%8F%AF%E6%B5%8B%E9%9B%86%5Csubset%20H(R_0)%E5%B0%B1%E6%98%AF%E5%85%A8%E4%BD%93%E9%9B%86$

到此為止測(cè)度的建立過(guò)程似乎是簡(jiǎn)單，就是先延拓外測(cè)度然后將外測(cè)度限制就得到了測(cè)度的延拓。但是還存在一個(gè)之前提到的隱患，比如說(shuō)我從 $R_0$ 到 $R%5E*$ ,但是將 $R%5E*$ 再作為一個(gè)環(huán)進(jìn)一步實(shí)行之前的操作，是不是會(huì)得到更大的延拓呢？所以需要證明一下 $H(R_0)%3DH(R%5E*)$ 。