史濟(jì)懷老師視頻課微分方程部分——

&4.二階常系數(shù)的線性微分方程

定義：

• 二階常系數(shù)線性微分方程——當(dāng)p(x)，q(x)為常數(shù)p，q時，即形如y''+py'+qy=f(x)的關(guān)系式。?

不使用常數(shù)變易法的3種情況：

情形二：當(dāng)f(x)=pn(x)e^αx——pn(x)為關(guān)于x的n次多項式，即pn(x)=a0+a1x+…+anx^n，α為實數(shù)。

思路：

step1：做變量代換，令y=z(x)e^αx——

step2：找到第一步中得到的方程的特征方程T(λ)，解出z(x)——

step3：由y=z(x)e^αx，即可求出y。

情形三：當(dāng)f(x)=pn(x)(e^αx)sin βx或者f(x)=pn(x)(e^αx)cos?βx——pn(x)為關(guān)于x的n次多項式，即pn(x)=a0+a1x+…+anx^n，α，β為實數(shù)。

思路：

step1：輔助方程y"+py'+qy=pn(x)e^[(α+iβ)x]=pn(x)e^(μx)，μ=α+iβ；

step2：做變量代換，令y=z(x)e^(μx)——

step3：φ(x)為y"+py'+qy=pn(x)(e^αx)cos?βx的解，ψ(x)為y"+py'+qy=pn(x)(e^αx)sin?βx的解——