所謂函數(shù)方程，就是指包含自變量和未知函數(shù)的方程，方程的解是一個(gè)函數(shù)。

今天看一個(gè)函數(shù)方程的例子，這個(gè)例子本身很有趣。

74一個(gè)函數(shù)方程的解

f（x+y）=f（x）+f（y），按照從簡單到復(fù)雜的順序分析——

解：線性齊次函數(shù)f（x）=cx（c=常數(shù)）

證明：歸納法得出——

f（x1+x2+……+xn）

=f（x1）+f（x2+……+xn）

=f（x1）+f（x2）+…f（xn），記為（*）式。

part1：當(dāng)c為正有理數(shù)的情況——

1. 由（*）式得：f（x+x+……+x）=f（nx）=nf（x）；

2. 由1得：f（n（x/n））=nf（x/n），即f（x/n）=f（x）/n；

3. 由1、2得：f（mx/n）=f（mx）/n=（m/n）f（x）.

part2：當(dāng)c為0的情況——

1. f（0+0）=f（0）+f（0），滿足方程，即f（0）=0.

part3：當(dāng)c為負(fù)有理數(shù)的情況——

1. 0=f（0）=f（x+（-x））=f（x）+f（-x），f（-x）=-f（x）；

2. 由1：f（-nx）=-f（nx）=-nf（x）；

3. f（-x/n）=-f（x/n）=-f（x）/n；

4. f（-mx/n）=-f（mx/n）=-mf（x）/n.

總結(jié)：對于有理數(shù)r，f（rx）=rf（x）。

檢驗(yàn)：將x=1，c=f（1）代入f（rx）=rf（x），得——

f（r）=f（r*1）=rf（1）=cr，即c為有理數(shù)時(shí)，上述解成立。

part4：當(dāng)c為無理數(shù)的情況——

1. ρ為任意無理數(shù)，則可以用十進(jìn)小數(shù)數(shù)列{rn}逼近它，ρ=a0+a1/10+a2/10^2+…+an/10^n…，其中ak為0到9中的任意整數(shù)，k=1，2，……——

   r1=a0+a1/10，

   r2=a0+a1/10+a2/10^2，

   ……

   rn=a0+a1/10+a2/10^2+…+an/10^n，

   ……；

2. rn為有理數(shù)，則f（rn）=crn，limf（rn）=clim rn=f（lim rn）=f（ρ）=cρ，即該函數(shù)在c為無理數(shù)時(shí)也成立。

總結(jié)：對于任意實(shí)數(shù)f（x）=cx（c為常數(shù)），為原方程的解。

到這里！