命題4.3：

可在已知圓外作一個(gè)與已知三角形等角的外切三角形

已知：圓ABC，△DEF

求：在圓ABC外作一個(gè)與△DEF等角的外切三角形

解：

將EF向兩端延長(zhǎng)至點(diǎn)G，點(diǎn)H

（公設(shè)1.2）

求出圓ABC的圓心點(diǎn)K

（命題3.1）

以點(diǎn)K為頂點(diǎn)，作∠AKB=∠DEG，與圓ABC交點(diǎn)記為點(diǎn)A，B

（命題1.23）

在BK上，以點(diǎn)K為頂點(diǎn)作∠BKC=∠DFH，與圓ABC交點(diǎn)記為點(diǎn)C

（命題1.23）

過點(diǎn)A，B，C作圓ABC的切線，三條線交點(diǎn)記為點(diǎn)L，M，N

（命題3.17）

求證：∠M=∠DEF，∠N=∠DFE，∠L=∠D

證：
∵LM切圓ABC于點(diǎn)A

（已知）

∴AK⊥LM

（命題3.18）

∴∟MAK是直角

（定義1.10）

∵M(jìn)N切圓ABC于點(diǎn)B

（已知）

∴BK⊥MN

（命題3.18）

∴∟MBK是直角

（定義1.10）

∵△AKM中，∠AMK+∠AKM+∟MAK=兩直角

△BKM中，∠BMK+∠BKM+∟MBK=兩直角

（命題1.32）

∴∠M+∠AKB+∟MAK+∟MBK=四直角

（公理1.2）

∴∠M+∠AKB=兩直角

（公理1.3）

∵∠DEF+∠DEG=兩直角

（命題1.13）

∴∠M+∠AKB=∠DEF+∠DEG

（公設(shè)1.4＆公理1.1）

∵∠AKB=∠DEG

（已知）

∴∠M=∠DEF

（公理1.3）

同理可證，∠N=∠DFE

∵△LMN中，∠L+∠M+∠N=兩直角

（命題1.32）

∴∠L+∠DEF+∠DFE=兩直角

（公理1.1）

∵△DEF中，∠D+∠DEF+∠DFE=兩直角

（命題1.32）

∴∠L+∠DEF+∠DFE=∠D+∠DEF+∠DFE

（公設(shè)1.4＆公理1.1）

∴∠L=∠D

（公理1.3）

證畢

此命題在《幾何原本》中再未被使用

來都來了，點(diǎn)個(gè)關(guān)注唄！